قيمة مطلقة: خواص ، شرح و تعریف

تعريف القيمة المطلقة

رياضياً، يمكن إثبات أن القيمة المطلقة هي دالة رياضية تظهر بالشكل التالي.

توضح العلاقة أعلاه أن القيمة المطلقة للرقم x  تساوي x نفسه عندما تكون قيمة x أكبر من الصفر، وعندما يكون للرقم x قيمة أصغر من الصفر، فإن قيمته المطلقة تساوي x-. هناك نقطة أخرى مهمة وهي أن القيمة المطلقة للصفر تساوي صفر.

لذلك، إذا كان الرقم الذي سنحسب قيمته المطلقة موجبًا، فإن قيمته المطلقة تساوي نفسه، وعندما يكون هذا الرقم سالبًا، نحوله إلى رقم موجب باستخدام التعبير x-.

في الواقع، يكون ناتج دالة القيمة المطلقة دائمًا تعبيرًا إيجابيًا. يتناول المثال التالي طريقة حساب القيمة المطلقة بشكل جيد.

المثال الأول:

احسب القيمة المطلقة للرقم 17-

لحساب القيمة المطلقة لهذا الرقم، أجب أولاً عن السؤال، هل لهذا الرقم قيمة موجبة أم سالبة؟ اذاً، بما أن الرقم المحدد له قيمة سالبة، فإن قيمته المطلقة تساوي سالب هذا الرقم، أي x-.

تم توضيح التفسيرات المذكورة أعلاه بشكل مبسط في العلاقة التالية.

(17)+ = (-17) –

لحساب التعبير أعلاه، تم استخدام النقطة التي تكون فيها القيمة السالبة للتعبير السلبي مساوية لقيمة موجبة. (سالب في سالب= موجب)

خواص القيمة المطلقة
|أ|≥0؛ أي أن القيمة المطلقة للعدد أ لا يمكن لها أن تكون أقل من الصفر؛ حيث أ أي عدد حقيقي.

• |أ|= (أ2)√؛ حيث يساوي جذر العدد عدداً موجباً أو مساوياً للصفر في الأعداد الحقيقية.
• |أ×ب|=|أ|×|ب|، وهذا يعني أن حاصل ضرب القيمة المطلقة للعدد أ بالقيمة المطلقة للعدد ب يساوي القيمة المُطلقة لحاصل ضرب العددين أ و ب.
• |أ|=|-أ|, حيث يمتلك العدد وسالبه القيمة المطلقة ذاتها.
• |أ-ب|=|ب-أ|؛ حيث (أ-ب) ≠ (ب-أ)، بينما القيمة المطلقة لهما متساوية.
• |أ|=|ب|، فقط إذا كانت أ=ب، أو أ=-ب.
• |أ|ن=|أ ن|، حيث ن= عدد صحيح موجب.
• |أ|/|ب|=|أ/ب|، حيث ب لا تساوي صفر.
• |أ±ب|≤|أ|+|ب|, وتعني أن القيمة المطلقة لمجموع قيمة العددين أ, ب أقل دائماً أو مساوية لناتج جمع أو طرح القيمة المطلقة للعدد أ مع القيمة المطلقة للعدد ب.

كيفية كتابة القيمة المطلقة

على سبيل المثال، القيمة المطلقة للرقم 5 تساوي 5، لأن 5 هو رقم موجب. القيمة المطلقة للرقم -5 تساوي أيضًا 5، لأن 5 يوضح مقدار الرقم -5 بغض النظر عن إشارته.

لكتابة القيمة المطلقة لعدد ما، يمكنك استخدام خطين متوازيين. على سبيل المثال، |5| = 5 و |-5| = 5.

كما يمكن أيضًا استخدام رمز القيمة المطلقة (abs). على سبيل المثال، abs(5) = 5 و abs(-5) = 5.

في اللغة العربية، عادة ما يتم استخدام خطين متوازيين لكتابة القيمة المطلقة.

فيما يلي بعض الأمثلة الإضافية لكتابة القيمة المطلقة:

• |10|= 10
• |-10|= 10
• |2.5|= 2.5
• |-2.5| = 2.5

أمثلة متنوعة على القيمة المطلقة

المثال الأول: ما مدى x في العلاقة التالية وما المفهوم الرياضي الذي تنقله هذه العلاقة؟

|x|<3

تنص هذه العبارة على أن x تقع في نطاق تكون فيه المسافة إلى الأصل (x = 0) تساوي 3. وهذا موضح في الشكل أدناه.

كما ترون، فان نطاق x هو المسافة بين 3- و 3+ (3 و3- ليسا جزءًا من النطاق). يمكننا إظهار الشكل أعلاه باستخدام المتباينة التالية

-3<x<3

المثال الثاني: أجب عن المثال أعلاه في الحالة التي يتم فيها تعريف المتباينة الموجودة على النحو التالي.

|x| ≤ 3

الإجابة على هذه المتباينة هي جميع النقاط الموجودة في النطاق بين -3 إلى 3، وتتضمن 3 و-3 نفسها. يظهر هذا باستخدام المتباينة التالية.

|3x-6|≤ 12

كما هو موضح، في الحالة المذكورة أعلاه، الحد الموجود داخل التكامل يقع في النطاق بين 12- الى 12. ولذلك، يتم إعادة كتابة العلاقة أعلاه على النحو التالي.

-12 ≤ 3x-6 ≤ 12

بإضافة الرقم 6 إلى طرفي هذه المتباينة يصبح التعبير أعلاه بالشكل التالي.

-6 ≤ 3x ≤ 18

الآن لإيجاد مدى x، نضرب أطراف هذه المتباينة في 1/3. وبالتالي فإن مدى المتغير x يصبح العلاقة التالية.

-2 ≤ x  ≤ 6

الخلاصة

تناولت هذه المقالة أولاً مفهوم القيمة المطلقة بالتفصيل. ومن ثم تم دراسة علامة القيمة المطلقة وتعريفها الرياضي. بعد ذلك، تم تقييم خصائص القيمة المطلقة بالتفصيل، وأخيرا، تم دراسة طريقة حل المتباينات التي تتضمن القيمة المطلقة.