شرح نظرية فيثاغورس
تعد نظرية فيثاغورس واحدة من أهم النظريات الرياضية التي تم تطويرها في تاريخ الرياضيات. سميت هذه النظرية على اسم فيثاغورس، عالم الرياضيات اليوناني من القرن السادس قبل الميلاد والذي طورها في القرن الخامس قبل الميلاد.
ان تعريف نظرية فيثاغورس هي كالتالي، هذه النظرية تدرس العلاقة بين أضلاع وزوايا المثلث القائم.
لقد شرحنا سابقاً في مقالة من هو فيثاغورس كل شيء يجب معرفته عن هذا العالم. اما في هذه المقالة من الأفضل ان ننتقل إلى الموضوع الرئيسي وهو قانون نظرية فيثاغورس.
سوف نتحدث في هذه المقالة عن تاريخ نظرية فيثاغورس وتعريفه وإثباته، و سنخبركم ايضاً عن تطبيقاتها في الرياضيات والعلوم الأخرى، ونوضح لكم لماذا لا تزال هذه النظرية تجذب العلماء والطلاب إليها.
تاريخ نظرية فيثاغورس
يذكر اسم فيثاغورس الكثير من الناس بالمعادلة الشهيرة a² + b² = c². تُعرف هذه المعادلة بنظرية فيثاغورس، لأن هذا العالم يعتبر المؤلف الرئيسي لها. لكن تاريخ هذه النظرية يعود إلى سنوات قبل اختراعه.
نظرًا لأن علم المثلثات كان معروفًا في جميع أنحاء العالم، ربما لم يكن فيثاغورس أول شخص توصل إلى هذا الاستنتاج. لكن يبدو أنه كان أول من استطاع اثباتها. تشير العديد من النصوص القديمة إلى أن علم المثلثات، كانت موضع اهتمام كبير في ذلك الوقت.
نص قانون نظرية فيثاغورس
نص قانون نظرية فيثاغورس هو: “في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الضلع المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعي طول الضلعين الآخرين”.
في المثلث القائم الزاوية، إذا كان طول أحد الأضلاع المتقابلة للزاوية القائمة يساوي “أ” وطول الضلع الآخر يساوي “ب”، فإن مربع طول الضلع المقابل للزاوية القائمة يساوي “أ² + ب²”.
ويمكن استخدام هذا النص القانون لحساب طول الضلع المفقود في مثلث قائم الزاوية إذا كان لدينا معرفة طول ضلعين آخرين.
إثبات قانون نظرية فيثاغورس
نظرية فيثاغورس هي واحدة من النظريات الأكثر شهرة في الرياضيات والتي تستخدم على نطاق واسع في العديد من المجالات. تتضمن هذه النظرية علاقة بين طول أضلاع المثلث القائم الزاوية، وهي: مربع طول الضلع المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعي طول الضلعين الآخرين.
ومن المثالي أن يتم توضيح هذه النظرية عن طريق الإثبات الرياضي. يوجد العديد من الطرق المختلفة لإثبات هذه النظرية، ومنها:
الإثبات الأول
يقوم هذا الإثبات على استخدام مفهوم المساحة الهندسية. يمكن للإثبات أن يتم بطريقة تشبه التالية:
نفترض وجود مثلث قائم الزاوية ABC، حيث C هي الزاوية القائمة، و AB و AC هما الأضلاع الآخرين. يمكن وضع مربع على كل ضلع من المثلث، مما يؤدي إلى الحصول على ثلاثة مربعات.
إذا قمنا بتحريك مربع ACDEF على الاستقامة AB، فإننا سنحصل على شكل جديد كما هو موضح في الشكل:
نلاحظ أن المساحة المتبقية بين مربعي ABDE وBCFG مساوية للمساحة المتبقية بين المربع ACDEF والمثلث ABC. هذا يعني أننا نحتاج فقط إلى إثبات أن المساحة المتبقية بين مربعي ABDE وBCFG تساوي مربع طول الضلع المقابل للزاوية القائمة C.
تلاحظ أن كل من مربعي ABDE وBCFG لهما مساحة قدرها “أ²”، بينما يمكن أن نع
أمثلة متنوعة حول نظرية فيثاغورس
لدينا مثلث مستقيم الزوايا ABC حيث AB = 3 و AC = 4 و BC = 5. ما هو طول الضلع الأطول؟
حل
يمكننا استخدام نظرية فيثاغورث لحل هذا السؤال. وتقول النظرية فيثاغورث أنه في مثلث مستقيم الزوايا، مربع طول الضلع الأطول (الوتر) يساوي مجموع مربعي طول الضلعين الآخرين.
لذا، لحل هذا المثال، يجب علينا حساب مجموع مربعي طول الضلعين AB و AC، ثم حساب جذر تلك المجموع للحصول على طول الضلع الأطول BC.
AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
لذا، BC^2 = AB^2 + AC^2 = 25
نأخذ الجذر التربيعي من الجانبين:
BC = sqrt(25) = 5
لذا، طول ضلع BC (الوتر) هو 5.
وبالتالي، يكون طول الضلع الأطول في هذا المثلث المستقيم الزوايا هو 5.
تطبيقات على نظرية فيثاغورس
تنطبق نظرية فيثاغورس في العديد من المجالات، بما في ذلك:
- حسابات المثلثات القائمة: يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول الضلع الثالث في مثلث قائم الزاوية إذا كانت معروفة طول الضلعين الآخرين. كما يمكن استخدامها لحساب المسافة بين نقطتين في المستوى.
- تصميم الأبنية والمنشآت: يستخدم مهندسو البناء والمعماريون نظرية فيثاغورس في تصميم المنشآت، وخاصة عند حساب طول الجدران والأسقف القائمة.
- الهندسة الفضائية: تستخدم نظرية فيثاغورس في الهندسة الفضائية لحساب المسافة بين الأجسام الفضائية والكواكب.
- علوم الفلك: يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب المسافات بين الكواكب والنجوم والأجرام السماوية الأخرى.
- تقنية المسح الضوئي: يستخدم مفهوم نظرية فيثاغورس في تقنية المسح الضوئي لحساب المسافة بين المصدر والمستقبل وإجراء التصحيحات اللازمة.
- الرسم الهندسي: يمكن استخدام نظرية فيثاغورس في الرسم الهندسي لحساب المسافات بين النقاط وتحديد الزوايا والأطوال.
